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Antenne

Indice

1. Introduzione
2. Soluzione delle equazioni di Maxwell
3. Polarizzazione
4. Parametri
5. Equazione del collegamento
6. Circuiti equivalenti e adattamento
7. Allineamenti di antenne
8. Propagazione


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1. Introduzione

In un sistema di riferimento sferico con l'antenna centrata nell'origine il campo lontano generato da una distribuzione di corrente sull'antenna si può scrivere in termini fasoriali come:





essendo:


K = K() la cosiddetta intensità di radiazione dell'antenna, da cui otteniamo il ben noto diagramma di radiazione


il versore di polarizzazione del campo elettrico


noto a meno di un certo angolo arbitrario. Può essere complesso, ed ha modulo unitario.


l'impedenza caratteristica del mezzo (il vuoto)


R: la distanza dal centro del sistema di riferimento sferico al punto dove vogliamo calcolare il campo.


il versore di propagazione radiale, rispetto all'origine del sistema di riferimento sferico, è diretto radialmente lungo R.



Il vettore di Poynting risultante dal prodotto tra i due campi elettrico e magnetico decade come ed è diretto come il versore di R. E' un'onda sferica quindo con vettore di Poynting:



In generale possiamo anche scrivere



ove V0 rappresenta l'eccitazione della corrente sull'antenna(ha le dimensioni di una tensione) è un numero complesso, e F è un fattore direttamente proporzionale all'intensità di radiazione, che può essere un numero complesso.

Sapendo che il vettore di Poynting è:



a grande distanzai due campi E ed H sono ortogonali e ortogonali anche al versore di propagazione ed in rapporto sono pari ad H, quindi abbiamo:




ed otteniamo in pratica la stessa formula di prima dove come si vede F è direttamente proporzionale a K, cioè all'intensità di radiazione.


Vediamo ora come può essere trovata la soluzione dell'equazione di Maxwell che è stata vista in forma generale per alcuni casi pratici.


2. Soluzione delle equazioni di Maxwell


Dalla teoria della radiazione si ha:





in cui A è il potenziale vettore, da cui ottenere E ed H.


La soluzione dell'equazione di cui sopra di A da:


ove J è la densità di corrente, sorgente del campo elettromagnetico.

se abbiamo distribuzioni lineari allora



in campo lontano(zona di fraunhofer) ove D sono le dimensioni del sistema in esame:





A può essere ottenuto agevolmente in coordinate sferiche e l'espressione di E ed H è immediata




Esempi:



Dipolo Hertziano



è una corrente cosinusoidale diretta lungo z su un filo di corrente lungo l di lunghezza molto inferiore alla lunghezza d'onda; quindi:




ritendendo r: la lunghezza dell'elemento molto piccolo di corrente dal punto in cui viene calcolato il potenziale vettore, costante e all'incirca la stessa della distanza dal centro del sistema di riferimento(a metà del dipolo stesso) R:



quindi il potenziale vettore è diretto lungo z, le sue componenti lungo un sistema di riferimento sferico sono:





sfruttando la formula dei campi a grande distanza


si ha:



quindi:



le altre due componenti sono nulle.






Dipolo corto


Il dipolo corto può essere interpretato come un filo alimentando a due morsetti di ingresso su due tronchi di una linea di trasmissione. La distribuzione del campo può essere assunta come quella di una linea di trasmissione lunga l/2. Tale lunghezza in questo caso è molto minore della lunghezza d'onda e possiamo per essa quindi prendere la seguente espressione:



posto che sia z' la cordinata generica lungo un'asse z'. Con (x, y, z) in genere si indica le coordinate di un punto P nello spazio nel quale si vuole trovare il campo.

Ovviamente se vogliamo il campo dobbiamo trovare le formule viste prima, in tal caso come in tutti i casi d'altronde, possiamo integrare ogni contributo elementare sul filo come supponendo costante

su ogni pezzetto dell'antenna ipotizzando che questo irradi la stessa onda irradiata da un dipolo elementare; quindi abbiamo:




ove r è la distanza del singolo pezzettino di antenna dal punto P come si può vedere in figura:





in generale iptizzando r ed R paralleli


in tal caso quindi:


in zona di Fraunhofer tale approssimazione può essere effettuata per la fase, mentre per l'ampiezza possiamo usare quella più grossolana , in tal caso il termine a denominatore può essere portato fuori dall'integrale. In questo caso poiché la lunghezza dell'antenna è molto piccola

possiamo usarla anche per la fase:



applicando le formule viste prima per il campo otteniamo:




è immediato riferirsi alle grandezza prima citate per la formula generale:






nel caso in cui la lunghezza del dipolo divenga confrontabile con la lunghezza d'onda occorre fare un'approssimazione meno grossolana della fase quale quella che abbiamo riportato poco sopra ed integrare rispetto ad essa. L'espressione ovviamente diventa un po' più complicata del caso del dipolo corto.

Dipolo di lunghezza paragonabile alla lunghezza d'onda


In tal caso:



Ipotizziamo che la corrente sia esprimibile come quella su una linea di trasmissione di lunghezza pari alla metà dell'estensione dell'antenna.

Abbiamo:


essendo:


sviluppando e passando all'espressione del campo(i conti sono molto laboriosi) otteniamo:



nel caso di dipolo di lunghezza si ha:



è caratterizzato da un diagramma di radiazione più direttivo del dipolo corto anche se non così efficiente. Tali antenne vengono usate molto spesso nella pratica proprio perchè non particolarmente direttive sono comode ad esempio in diversi casi, quale ad esempio la radiodiffusione. Trattandosi di un sistema di Broadcasting essa deve raggiungere molte utenze e quindi vengono usate tali antenne.

Nel caso di un dipolo a mezz'onda l'espressione della corrente si può trovare in maniera abbastanza agevole; la linea ha lunghezza l'espressione della corrente per una linea di trasmissione in circuito aperto è:



ove Vp e Vr sono i fasori dell'onda progressiva e regressiva sulla linea. Essendo aperta e supponendo che il carico in questo caso infinito sia posizionato in z=0, si ha:


quindi Vp=Vr. Otteniamo:



ponendo z=0 ai morsetti dell'antenna con un'asse z' che va da -l/s a l/2 ed


in cui I0 è la corrente massima posizionata proprio sui morsetti dell'antenna. Dall'equazione si vede che la corrente è semplicemente un solo arco di sinusoide lungo tutta l'antenna. In pratica è un onda stazionaria che pulsa con il tempo con la stessa forma:



per il dipolo a mezz'onda abbiamo il seguente diagramma di radiazione






nel piano equatoriale il diagramma è omnidirezionale, nel piano di il diagramma è un po' più direttivo del dipolo Hertziano con un ampiezza del fascia a metà potenza di 78°, mentre per il dipolo Hertziano questo vale 90°.



3. Polarizzazione


Il campo elettrico può essere polarizzato in diversi modi, ricordiamo al proposito che possiamo avere i seguenti casi: ellittica, circolare, lineare

Ricordiamo che il caso generale è il caso ellittico. Infatti



avendo posto:

il fasore del campo elettrico stesso con ovvia notazione dei simboli; le componenti del campo elettrico danno luogo nella rotazione ad un ellisse. In assenza di componente sinusoidale, cioè solo cosinusoidale avremmo una polarizzazione lineare.


Dal punto di vista fisico il j significa che abbiamo due componenti sfasate di 90°.

In generale il campo è contenuto in un certo piano, comunque sia possiamo ipotizzare di prendere due assi lungo il quale il campo ha due componenti. In coordinate cartesiane possiamo prendere due assi x,y e quindi due versori


esempio

consideriamo il fasore:



si verifica facilmente che in tal caso la polarizzazione è circolare, oltre a questo essa è un'onda piana che si propaga lungo z, questo perchè abbiamo due componenti massime della stessa lugnghezza lungo x e y.

Infatti abbiamo



poniamo z=0



per vedere in che verso è la polarizzazione si può guardare due istanti successivi, ad esempio per semplicità t=0 e t=T/4:




in un sistema di riferimento cartesiano con una terna x,y,z abbiamo un campo che è polarizzato in maniera destrogira (ossia orario).

Si può vedere facilmente che esso descrive una circonferenza. Infatti, prendiamo e(0;t):






quindi:



sfruttando la ben nota proprietà delle funzioni trigonometriche:



abbiamo:


=>


che è proprio l'equazione di un cerchio di raggio E0.



4. Parametri

Vediamo ora i parametri piu' importanti delle antenne





cioè il rapporto tra la densità di potenza a distanza R e la densità di potenza isotropica di un antenna che irradia la stessa potenza alla stessa distanza R.

Su una sfera di raggio R quindi otterrei





otteniamo




essendo






ove con ovvia notazione dei simboli una è la potenza irradiata l'altra la potenza trasmessa (erogata) all'antenna.







tensione a vuoto ai morsetti dell'antenna


ove Ei è il campo incidente.



E' l'angolo di apertura del fascio, i cui due estremi rappresentano i punmti in coordinate sferiche ove il campo decade di 3db.




ove P è la potenza disponibile ottenuta dal modulo vettore di Poynting moltiplicato con l'area equivalente stessa. E' valida in condizioni di adattamento di massimo trasferimento di potenza e con adattamento di polarizzazione, cioè h ed E paralleli.

Questa formula si può esplicitare meglio considerando





ove:


Va: tensione che si avrebbe a vuoto(ZL infinita) ai morsetti dell'antenna

Za: impedenza dell'antenna

ZL: carico posto a valle dell'antenna(ai suoi morsetti di uscita)


la potenza dissipata sul carico è:



inoltre sapendo che:


supponendo di essere in condizioni di adattamento di impendenza



ove



quindi



ove


è detto fattore di polarizzazione


siccome Ae come detto è definito in condizioni di adattamento di polarizzazioni tale fattore deve essere unitario, quindi:



ovvero antenna e campo incidente devono dar luogo alla medesima polarizzazione, il coniugato intuitivamente ci dice che questa formula è valida per lo stesso sistema di riferimento, ma un osservatore che vede l'onda incidente è posto dalla parte opposta di un osservatore che vede l'onda generata venirgli incontro.

Vediamo ora una tabella riassuntiva di vari tipi di antenne.











Tabella relativa a vari tipi di antenne



Tipo di Antenna

Diagramma di radiazione

Dipolo Hertziano

Dipolo corto

Dipolo in mezz'onda


Queste antenne filari generano un campo scarsamente direttivo. Per ottenere alta direttività si fa uso in genere di antenne ad apertura. Inoltre l'efficienza ohmica è molto bassa essendo bassa la resistenza di radiazione.

Per trovare la resistenza di radiazione si può effettuare il seguente procedimento: calcolare la potenza irradiata a grande distanza ed uguagliarla alla potenza dissipata sulla resistenza di radiazione.


Esempio

Calcoliamo la resistenza di radiazione del dipolo corto.



sapendo che:



quindi:




tenendo conto che:



sviluppando si ottiene:


da cui si vede che essendo la resistenza di radiazione è molto piccola.

In genere le antenne filari si usano in ricezione per frequenze al di sotto del Ghz, mentre le antenne ad apertura si usano a frequenze elevate f>1Ghz.



Antenna Yagi-Uda


Un caso particolare di antenna interessante, molto usato nella pratica, è quello dell'antenna Yagi-Uda dal nome di due ingegneri giapponesi suoi inventori.

Essa può essere vista come un allineamento di antenne, ma in generale ha un solo dipolo attivo, piu' una serie di elementi parassiti come si può vedere nella seguente figura:






in particolare abbiamo un elemento parassita un po' più lungo immediatamente vicino al dipolo alimentato, il cosiddetto riflettore. E' quest'ultimo in modo particolare insieme al dipolo attivo a determinare il comportamento di quest'antenna rendendolo più direttivo. Più a destra ci sono altri elementi parassiti che generano ulteriore direttività i cosiddetti direttori. Il dipolo attivo genera una certa corrente che si accoppia agli elementi vicini inducendo quindi delle correnti su di essi. Esso può essere costituito da un dipolo a mezz'onda ad esempio; sappiamo che il suo diagramma di radiazione non è particolarmente direttivo, anzi nel piano equatoriale è omnidirezionale, la direttività quindi scaturisce dall'accoppiamento con i dipoli parassiti vicini.

Sapendo che il generico dipolo genera a grande distanza un campo:



si ha per il campo totale:



dove dn è la distanza dei singoli dipoli dal direttore posto a una delle estremità dell'antenna.

Variando opportunamente la lunghezza dei singoli elementi e la loro distanza dal dipolo direttore, si può raggiungere il diagramma di radiazione voluto, in particolare variando la lunghezza del dipolo direttore. Nella pratica esso è leggermente più lungo del dipolo attivo mentre i direttori sono leggermente più corti. Il Dipolo attivo accoppiandosi con il riflettore fa si che in determinate direzioni il campo sia in fase mentre in altre in controfase.

Quest'antenna in genere viene usate come antenna ricevente TV nelle abitazioni.




5. Equazione del collegamento


In spazio libero per due antenne in linea di vista (LOS) a distanza d troviamo la potenza ricevuta Pr.


Siano:


Pt: potenza trasmessa(in realtà andrebbe considerata quella effettivamente irradiata, per ipotesi si assume l'efficienza ohmica unitaria).

Gt: guadagno dell'antenna in trasmissione.

Gr: guadagno dell'antenna in ricezione.

Dal momento che nella pratica si usa antenne direttive conviene usare la seguente quantità:


Effective Isotropic Radiated Power


con essa si esprime la potenza irradiata a grande distanza da un antenna isotropica equivalente a quella in esame(di trasmissione). La densità spaziale di potenza a distanza d sarà:



sappiamo che la potenza disponibile ai morsetti dell'antenna vale:


dalla teoria delle antenne usiamo la seguente formula:



quindi:


=>


detta Formula di Friis


avendo espresso Ls: perdita per attenuazione in spazio libero.

Quest'equazione ci dice che ovviamente la potenza in ricezione aumenta se aumenta la potenza con cui si alimenta l'antenna, e se aumentano i guadagni delle due antenne di ricezione e trasmissione. Ovviamente tali guadagni come sappiamo sono correlati alla direttivita e non sono costanti come li abbiamo riportati nella formula. L'equazione di Friis però fa l'ipotesi di considerare i guadagni massimi. Essa diminuisce anche con l'aumentare della perdita per attenuazione in spazio libero Ls; come si vede essa aumenta tanto piu' aumenta la distanza d tra le due antenne come è logico; Ls dipende anche dalla lunghezza d'onda. La perdita aumenta tanto più tale valore diminuisce, cioè la potenza ricevuta tanto maggiore è la frequenza.

In genere non è detto sempre che antenna trasmittente e ricevente si vedano; questo è vero nei ponti radio in genere dove si sfrutta la propagazione troposferica(per diffrazione) e per comunicazioni satellitari. In quest'ultimo caso la distanza viene ad assumere valori molto grandi e quindi la potenza trasmessa deve essere molto elevata. Sul satellite occorrono ampolificatori di potenza che rigenerino il segnale verso terra (es Klystron, Magnetron ecc..).

In molti casi pratici tale equazione non va più bene, un caso tipico è quello di comunicazioni wireless in area urbana dove si ha una condizione NLOS.












6. Circuiti equivalenti ed adattamento



In trasmissione abbiamo:




un generatore con la impedenza interna alimenta un antenna vista come un'impedenza Za. Tutta la potenza fornita all'antenna deve essere irradiata in condizioni ideali. Quindi:



l'impedenza d'antenna è quindi data fondamentalmente da un contributo resistivo sovrapposizione della resistenza di radiazione e della resistenza di perdita responsabile della perdita per effetto juole soll'antenna, e di un contributo reattivo di difficile quantificazione in generale. Nel caso di un dipolo a mezz'onda la parte reattiva tende ad annullarsi rispetto a quanto vede il generatore.

In ricezione abbiamo:




un generatore Va, tensione a vuoto ai morsetti dell'antenna con in serie la stessa Za che alimenta un certo carico. ZL è in pratica la resistenza equivalente vista ai morsetti di uscita dell'antenna del circuito posto a valle della stessa. In casi reali questa può essere la resitenza di ingresso di un preamplificatore a basso rumore.


Adattamento


Nei circuiti delle telecomunicazioni l'adattamento è in generale di due tipi



il primo fa riferimento al massimo trasferimento di potenza tra generatore e carico, e si realizza facendo si che il carico del generatore assuma la seguente espressione:

mentre per quanto riguarda l'adattamento di uniformità questo fa riferimento al fatto che dal generatore al carico(es antenna) deve essere interposto in genere un cavo coassiale o una guida d'onda. In questi mezzi guidati potrebbe esserci un'onda riflessa che ritorna sul generatore dando luogo a dei picchi di tensione e quindi con possibilità che ci sia un danneggiamento del generatore stesso. Il problema può essere superato interponendo due circuiti tra il generatore e l'antenna nel seguente modo:






per l'adattamento di uniformità prendendo in esame le formule delle linee di trasmissione:


coefficiente di riflessione


ove Z(z) e Z0 sono rispettivamente l'impedenza all'ascissa z della linea e quella caratteristica della linea di trasmissione; occorre avere un coefficiente di riflessione nullo. Questo può essere fatto con i normali metodi delle linee di trasmissione ad esempio facendo uso di un trasformatore in posto in un punto a una certa distanza dal carico nel quale l'impedenza risulta puramente reale.

Analoghi discorsi possono essere fatti per un'antenna ricevente, in tal caso il generatore è proprio rappresentato dall'antenna e il carico dal preamplificatore.


7. Allineamenti di antenne


In molti casi pratici come abbiamo visto per l'antenna Yagi -Uda per conferire direttività al sistema radiante, si può usare un'insieme di antenne. Se il singolo elemento radiante è alimentato questo si dice allineamento di antenne.

Consideriamo il generico campo irradiato da un'antenna a grande distanza:



se abbiamo un allineamento di N antenne allora il campo totale a grande distanza dal sistema( dove D è la dimensione massima del sistema):



un caso particolare molto interessante è quello in cui il sistema di antenne costituisce un allineamento uniforme di dipoli come nella seguente figura visti dall'alto:





il punto P supponiamo sia posizionato in zona di Fraunhofer e quindi che i raggi che congiungono le antenne con il punto P ove si vuole trovare il campo siano pressochè paralleli.

Le singole distanze delle antenne dal punto in esame si possono esprimere pere la fare al solito come:



essendo R la distanza del primo dipolo dal punto P, sul quale dipolo abbiamo posizionato il sistema di riferimento.

Abbiamo:



quindi:




quindi:


abbiamo il prodotto di due fattori: il diagramma di radiazione del singolo elemento per un altro fattore denominato fattore di schiera. Questo si è fatto ipotizzando che ogni elemento irradi nella stessa maniera e abbia la stessa polarizzazione. Da questo discende la


regola di Krauss: il diagramma di radiazione è il risultato del prodotto del diagramma di radiazione del singolo elemento per il fattore di schiera di una schiera di radiatori isotropici.

Essa discende in pratica dal fatto che visti separatamente essi hanno proprio questo significato dato loro dalla regola di Krauss stessa.

Ipotizziamo per semplicità che



cioè di prendere le eccitazioni dei singoli dipoli a sfasamento progressivo, supponendo V0 costante.

In questo caso si ha:



da cui:



avendo posto:


che è il fattore di schiera ove


è questo termine come ci dice anche la regola di Krauss a conferire direttività alla schiera di antenne. Infatti esplicitando la sommatoria ponendo m=n-1 si ha:


è una funzione periodica di periodo con un primo zero in come si vede nella seguente figura:




nei dintorni dell'origine esso è quindi tanto più stretto quanto maggiore è il numero degli elementi, ciò significa che il digramma di radiazione diventa tanto più stretto quanto più aumenta il numero degli elementi radianti. Questo però spesso genera dei lobi laterali com e possiamo vedere da alcuni diagrammi riportati per N diverso e a due distanze diverse tre gli elementi:





per l'argomento dei seni tendente a zero abbiamo in particolare una sinc:



il massimo viene raggiunto in quindi



al variare di abbiamo tre casi particolari:


Broadside

in cui quindi occorre porre


gli elementi irradiano massimamente in direzione ortogonale alla loro disposizione


Endfire

in cui quindi occorre porre

è il caso in cui gli elementi irradiano massimamente in direzione parallela alla loro disposizione.



Backfire

in cui quindi occorre porre

è il caso in cui gli elementi irradiano massimamente in direzione parallela alla loro disposizione ma in direzione opposta al caso endfire.


Se invece non assume uno di questi valori in genere viene chiamato angolo di scansione. Questo perchè con queste antenne si può variare elettronicamente tale anmgolo in modo da fargli assumere qualunque valore e può essere usato ad esempio per scandire una determinata regione spaziale. Ovviamente questo si fa variando le fasi con cui si eccita le antenne, in particolar modo variando la fase .


Grating Lobes


Come abbiamo visto è una funzione periodica di periodo essa ha N poli pari al numero degli elementi radianti, al variare di N si può verificare l'insorgenza di lobi laterali dannosi per la direttività dell'antenna; ad esempio il caso radar è lampante: possono esserci lobi laterali che irradiano in direzioni non volute catturando del clutter, un segnale indesiderato che si sovrappone al segnale utile rendendo difficile il riconoscimento di quest'ultimo.

Tenendo conto che:


e considerando quindi un angolo polare ne segue che:



occorre:


cioè che sia al massimo il valore dell'ultimo zero prima di riavere un lobo maggiore in modo da avere dei lobi laterali i più piccoli possibili.


Quindi:




e



otteniamo la seguente espressione generale per la lunghezza tra i dipoli normalizzata alla lunghezza d'onda:




esempio nel caso broadside con N molto grande:



nel caso endfire e backfire o :


in generale l'esperienza ha dimostrato che tale distanza non deve essere troppo grande.

Queste antenne hanno diversi campi di applicazione, come detto una delle sue applicazioni è nel caso radar. Ad esempio per scandire una certa regione di spazio variando la fase delle alimentazioni, in modo da variare progressivamente l'angolo di scansione:



in modo da rivelare o meno la presenza di un aereo, quindi antenna per Radar ATC.

Un altro caso sempre nel caso di applicazione radar è il caso del Radar ad apertura sintetica, SAR, usato per il telerilevamento di immagini fisse da satellite. La posizione dei singoli dipoli può essere quella di una singola antenna montata a bordo del satellite, che emette impulsi ad esempio a banda larga in istanti successivi di tempo per effettuare un mappaggio del terreno ad alta risoluzione dato che il sistema di antenne che così si viene a costruire genera un fascio molto stretto come abbiamo visto dai diagrammi di radiazione soprariportati.



8. Propagazione


Per parlare della propagazione è utile prendere in considerazione la seguente figura relativa ai vari strati dell'atmosfera:




come si vede essa è costituita fondamentalmente da tre strati principali, di cui l'ultiomo può essere visto ancora come un insieme di strati, essi sono:


Troposfera: lo strato più basso che si estende dal livello del marte fino a una decina di Km

Stratosfera: che si estende dalla troposfera fino a 50 km

Ionosfera: lo strato più esterno che si estende da 50 fino a 400km sul livello del mare. Deve il suo nome al fatto che il sole incidendo su questo strato genera un gran numero di ioni, per il fatto che toglie elettroni agli atomi che lo compongono. E' uno strato molto importante per le comunicazioni radio.


La propagazione del segnale può avvenire in diversi modi, ma fopndamentemente abbiamo i seguenti casi:


Onda di superficie: è il caso in cui l'onda per diffrazione segue la curvatura della terra. Dalla teoria delle onde sappiamo che questo fenomeno è rilevante quando le strutture che incontra l'onda sono paragonabile alla lunghezza d'onda della stessa; le microonde e le onde corte non risentono quindi di questo fenomeno, mentre le onde medie e lunghe ne risentono fortemente. Nella seguente figura vediamo questo fenomeno di propagazione:







Esso è importante quindi quando la distanza h proporzionale alla curvatura della terra diviene elevata. Quando la distanza è 1000km essa è di 31km e le onde medie e lòunghe cominciano a risentirne().


Onda diretta e riflessa:è il caso molto frequente delle microonde, in cui esiste un cammino diretto o riflesso o entrambi tra l'antenna trasmittente e ricevente.


Onda spaziale: è il caso della propagazione ionosferica, tra l'antenna trasmittente e ricevente possono esserci distanze grandissime per il fatto che l'onda riflessa dalla ionosfera rimbalza sulla terra anche più volte coprendo in tal modo distanze elevatissime.


Nella seguente figura possiamo vedere nell'insieme questi fenomeni di propagazione:




Propagazione per onda diretta e riflessa


Un caso molto importante come detto è il caso in cui esiste un cammino in linea di vista (LOS; line of sight) tra antenna trasmittente e ricevente. E' il caso dei ponti radio. La distanza tra questi non deve essere poi molto elevata, perchè come sappiamo irradiando l'antenna un onda sferica essa decade come 1/distanza e a grandi distanze tale fattore di attenuazione può essere molto grande. Come abbiamo visto nella pratica l'antenna può avere un diagramma di radiazione anche con alcuni lobi laterali(1 o più). Questi lobi laterali irradiando un campo possono generare un campo abbastanza intenso che riflettendo su un qualche materiale, ad esempio il terreno arrivano all'antenna ricevente in un tempo successivo a quello irradiato dal lobo principale. Se facessimo riferimento alla risposta impulsiva del canale trasmissivo tempo-invariante, avremmo:


dove è una certa attenuazione sul cammino riflesso e invece è il ritardo del raggio riflesso stesso. La sua trasformata sarebbe:



dalla teoria dei segnali sappiamo che un segnale non viene distorto qualora il segnale ricevuto:



ove k è una costante moltiplicativa e t0 un certo ritardo. Quindi dovremmo avere:



Come si vede però per il caso preso in esame non è costante in frequenza, almeno nella banda del segnale, e con fase lineare. Se però fosse piccolo potremmo sviluppare l'esponenziale in serie ed avere in questo caso un comportamento abbastanza lineare. In pratica però abbiamo distorsioni sia di ampiezza che di fase. Sul segnale questo si traduce ad avere in ricezione un replica del segnale di partenza più repliche sia simmetriche(distorsioni di ampiezza) che antisimmetriche (distorsioni di fase) rispetto alla replica centrale. Questo potremmo vederlo sviluppando H(f) in serie di Taylor, riconosceremmo un certo t0 attorno al quale ci sono queste repliche. Questo fenomeno si chiama dispersione del segnale; è un fenomeno molto sentito nel caso di trasmissione numerica a larga banda; gli impulsi inviati su questo canale verrebbero allargati in ricezione con conseguenti problemi del ricevitore a distinguere tali impulsi e quindi insorgerebbero dei problemi di prestazioni. Tali prestazioni come sappiamo sono la probabilità di errore e la potenza di segnale minima ricevuta.

Tale fenomeno comunque si presenta molto spesso anche per diversi altri effetti che abbiamo sui canali trasmissivi. Ad esempio se il mezzo è dispersivo, ovvero quando la costante di propagazione dipende dalla frequenza, oppure nel caso multipath, cioè quando abbiamo moltissimoi cammini, non solo uno solo riflesso.

Il caso di mezzo dispersivo è quello del plasma(ionosfera) ma ci sono anche altri matreriale a presentare questo fenomeno, ad esempio metalli. Il problema nasce dal fatto che la velocità di fase:



dipende da in quanto la permettività dielettrica dipende da cioè dalla frequenza.

Un segnale inviato da un'antenna è un segnale in genere non monofrequenziale(caso raro esempio notturno per le stazioni radiofoniche) ma ha una certa banda seppur stretta attorno a una certa frequenza. Ogni componente di questo segnale viaggia per quanto dice la formula a velocità diversa e quindi si ricombina in ricezione con differenti ritardi; per quanto detto nel caso multipath abbiamo dispersione e quindi lo stesso fenomeno accade in questo caso. Questo significa quindi che il segnale in ricezione è non solo allargato ma anche distorto in qualche misura; se non vi sono perdite il fenomeno che abbiamo è un allargamento dell'impulso e un suo abbassamento(l'energia deve rimanere costante in assenza di perdite) e quindi appunto distorsione, abbiamo anche un fenomeno di slittamento tra portante ed inviluppo che non da luogo in questo caso a distorsioni apprezzabili. Il fenomeno può essere mitigato cercando di rendere il segnale tanto più a banda stretta e diminuendo la distanza tra trasmettitore e ricevitore. Sviluppando infatti in serie di Taylor la frequenza dell'onda trasmessa otteniamo un segnale portante modulato da un certo inviluppo la cui altezza decade come ove t è il tempo; come si vede il fenomeno è tanto più marcato quanto più il tempo di propagazione tra le due antenne è maggiore.

Vediamo ora di quantificare il fenomeno nei ponti radio:




Per il principio delle immagini se l'antenna è posta verticalmente, possiamo assimilare l'onda riflessa come quella generata da un'antenna posta sotto il piano di massa che eroghi un campo uguale a quello trasmesso dall'antenna vera.


Segnale diretto:


Segnale riflesso:



con ovvia notazione dei simboli, con coefficiente di riflessione del terreno e Ft ed Fr i pattern delle due antenne.

Il campo totale è quindi:



per il coefficiente di riflessione, si ha che per piccoli angoli di grazing(l'angolo in figura) questo tende a valere -1. Inoltre d dr hanno lo stesso ordine di grandezza, quindi il termine F della formula di cui sopra vale:


ove


quindi prendendo il modulo del campo abbiamo:




se esprimiamo questo fattore in funzione dell'altezza delle singole antenne e facciamo tendere a zero otteniamo:



ove k è una certa costante. Otteniamo quindi un campo che decade come non inversamente a d come nel caso della propagazione diretta. Quindi in questo caso la potenza decade molto più velocemente del caso con sola onda diretta in particolare proporzionalmente all'inverso della quarta potenza della distanza.


Propagazione Multipath


In molti casi non si ha nemmeno un cammino diretto. E' in caso non-LOS o NLOS. Ad esempio è il caso della comunicazione tra dispositivi radiomobili, GSM e UMTS, infatti in aria urbana il segnale può arrivare al ricevitore seguendo diversi percorsi; in pratica quindi il segnale è una sovrapposizione di tantissime repliche che arrivano con attenuazione e fase casuali. Nella figu7ra seguente sono riassunti i vari fenomeni di propagazione del canale NLOS:





Il segnale inviato dall'antenna trasmittente è comunque sia un segnale passa banda centrato su una certa frequenza centrale, lo possiamo sintetizzare nella seguente espressione:



ove è l'inviluppo complesso dello stesso. Un caso particolare è quando s(t) è un semplice segnale sinusoidale e quindi

Il segnale ricevuto in tal caso è:




posto: si ha:




si può dimostrare che l'ampiezza del segnale fluttua con densità di probabilità data dalla densità di probabilità di Rayleigh e la fase che varia molto velocemente fluttua con densità di probabilità uniforme in.

Infatti abbiamo:



per il teorema del limite centrale:




sono dei processi Gaussiani perchè somma di tante variabile aleatorie identicamente distribuite, nella pratica ampiezza e fase variano nel tempo per via che il canale non è stazionario.

Quindi abbiamo:


è una variabile aleatoria di Rayleigh,


è uniformemente distribuita in


questo fenomeno si chiama Fading, evanescenza, con queste due proprietà come possiamo vedere nella seguente figura:






Il Fading fa si che le fluttuazioni del segnale siano parecchio veloci, e anche di diversi db tra un valore e all'altro dell'ampiezza del segnale ricevuto.

Per superare questo inconveniente su canale radiomobile sono adottate diverse tecniche, le più importanti delle quali sono quelle a spettro espanso; la banda del segnale da stretta che è viene espansa su un intervallo spettrale molto più grande, in tal modo essendo lo spettro fortemente espanso sono una piccola frazione di esso viene interessata dalla forma indesiderata che il canale in tali casi viene ad assumere e quindi non si manifestano delle grosse distorsioni nel segnale ricevuto. Come abbiamo visto le distorsioni più importanti che abbiamo sono quelle di ampiezza e fase. Nella pratica se la banda del segnale è dello stesso ordine di grandezza o vicina a quella del canale si manifesta come abbiamo visto il fenomeno della dispersione.

Altre tecniche usate in altre applicazioni sono quelle della diversità di spazio o frequenza. In particolare nella diversità di spazio, sapendo che il fading si manifesta come forti fluttuazioni tra un punto e un altro dello spazio usa una due antenne diverse poste in ricezione.





Propagazione ionosferica


Un altro caso interessante è quello della propagazione dell'onda spaziale. Il segnale inviato da terra colpisce gli strati più alti dell'atmosfera caratterizzati da alta ionizzazione e quindi basso indice di rifrazione e viene riflessa verso terra, dove incontrando la superficie imperfettamente conduttrice della stessa venendo riflessa nella ionosfera viene riflessa ancora verso terra e così via percorrendo distanze grandissime dal trasmettitore.

L
a ionosfera è caratterizzata da diversi strati ionizzanti con diversa densità di ionizzazione. Sperimentalmente si vede come indica la seguente figura che questa densità di elettroni aumenta progressivamente con l'altezza e poi a un certo punto diminuisce:

in figura notiamo tre strati principale D, E, F a cui se ne aggiungono degli altri in diverse ore del giorno o in diverse stagioni. Ovviamente la ionizzazione sarà parecchio maggiore durante il giorno che di notte.

Per l'onda inviata abbiamo quindi la seguente situazione:






per angoli di incidenza abbastanza elevati(rispetto alla normale ai vari strati) l'onda viene riflessa, mentre per angoli minori c'è il rischio che l'onda sfugga oltre la ionosfera. Sperimentalmente si verifica anche che oltre 30MHZ l'onda non viene riflessa verso terra.

Il plasma, un generico strato della ionosfera è caratterizzato da una permeabilità elettrica del tipo:



ove è la pulsazione di lavoro e è la cosiddetta pulsazione di taglio del plasma e ha un valore che dipende dalla densità degli elettroni. Se abbiamo un incidenza perpendicolare possiamo avere due casi:


è puramente immaginario, non si ha quindi propagazione



è reale e si ha propagazione

questo lo si vede dalla costante di propagazionein cui rappresenta il termine propagativo ed l'attenuazione. Come si vede nel primo caso il termineè del tutto assente, il caso opposto è il secondo in cui è ad essere assente.

Un caso interessante però è quello di incidenza obliqua; in tal caso come visto la propagazione dipende sia dalla frequenza ma anche dall'angolo di incidenza stesso.

Ammettendo ad esempio di avere n0=1 per l'indice di rifrazione nella troposfera, un caso abbastanza verosimile e l'angolo di incidenza sul primo strato, il percorso dell'onda deve seguire la legge di Schnell:



essendo l'indice di rifrazione in diminuzione con l'altezza, l'angolo di uscita dell'onda da uno strato tende ad aumentare fino a che tale angolo tende a 90°, come si può vedere in figura:



in tal caso abbiamo:



sostituendo l'espressione dell'indice di rifrazione dell'ennesimo strato si trova:



come si vede l'angolo di incidenza sul primo strato dipende dalla frequenza altrimenti non abbiamo riflessione.

Tale modo di comunicare a distanza è proprio dei radioamatori, in cui si usano frequenze al di sotto dei 30MHZ riuscendo a copriore distanze elevatissime dall'apparato trasmittente.

C'è però un problema con questo tipo di comunicazioni. Essendo riflesso dalla ionosfera il segnale prima di giungere a terra deve percorrere una distanza abbastanza elevata: la cosiddetta distanza skip, quindi un'eventuale antenna posta prima di questa distanza potrebbe non captare alcun segnale. Nella pratica l'antenna trasmittente per esempio per onde lunghe, potrebbe inviare anche un'onda di superfice che come abbiamo visto per diffrazione non può raggiungere distanze molto elevate massimo 3000km, quindi c'è una zona cosidetta zona skip o di silenzio radio in cui non è alcuno dei due segnali di cui abbiamo parlato, onda spaziale e di superficie, lo possiamo vedere nella seguente figura:





Questo fenomeno è abbastanza sentito nelle onde lunghe e medie dove vi sono ambedue i tipi di segnali. Nelle onde corte invece il modo di propagarsi delle onde è principalmente quello spaziale.

Nelle onde medie e lunghe oltretutto il segnale deve propagarsi in profondità nella ionosfera prima di essere ri8flesso e questo da luogo a grandi attenuazioni. Nel caso delle onde corte esse vengono riflesse immediatamente e l'attenuazione è praticamente irrilevante.