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Antenne

Indice

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1. Introduzione

In un sistema di riferimento sferico con l'antenna centrata nell'origine il campo lontano generato da una distribuzione di corrente sull'antenna si può scrivere in termini fasoriali come:

essendo:

K = K() la cosiddetta intensità di radiazione dell'antenna, da cui otteniamo il ben noto diagramma di radiazione

il versore di polarizzazione del campo elettrico

noto a meno di un certo angolo arbitrario. Può essere complesso, ed ha modulo unitario.

l'impedenza caratteristica del mezzo (il vuoto)

R: la distanza dal centro del sistema di riferimento sferico al punto dove vogliamo calcolare il campo.

il versore di propagazione radiale, rispetto all'origine del sistema di riferimento sferico, è diretto radialmente lungo R.

Il vettore di Poynting risultante dal prodotto tra i due campi elettrico e magnetico decade come ed è diretto come il versore di R. E' un'onda sferica quindo con vettore di Poynting:

In generale possiamo anche scrivere

ove V0 rappresenta l'eccitazione della corrente sull'antenna(ha le dimensioni di una tensione) è un numero complesso, e F è un fattore direttamente proporzionale all'intensità di radiazione, che può essere un numero complesso.

Sapendo che il vettore di Poynting è:

a grande distanzai due campi E ed H sono ortogonali e ortogonali anche al versore di propagazione ed in rapporto sono pari ad H, quindi abbiamo:

ed otteniamo in pratica la stessa formula di prima dove come si vede F è direttamente proporzionale a K, cioè all'intensità di radiazione.

Vediamo ora come può essere trovata la soluzione dell'equazione di Maxwell che è stata vista in forma generale per alcuni casi pratici.

2. Soluzione delle equazioni di Maxwell

Dalla teoria della radiazione si ha:

in cui A è il potenziale vettore, da cui ottenere E ed H.

La soluzione dell'equazione di cui sopra di A da:

ove J è la densità di corrente, sorgente del campo elettromagnetico.

se abbiamo distribuzioni lineari allora

in campo lontano(zona di fraunhofer) ove D sono le dimensioni del sistema in esame:

A può essere ottenuto agevolmente in coordinate sferiche e l'espressione di E ed H è immediata

Esempi:

Dipolo Hertziano

è una corrente cosinusoidale diretta lungo z su un filo di corrente lungo l di lunghezza molto inferiore alla lunghezza d'onda; quindi:

ritendendo r: la lunghezza dell'elemento molto piccolo di corrente dal punto in cui viene calcolato il potenziale vettore, costante e all'incirca la stessa della distanza dal centro del sistema di riferimento(a metà del dipolo stesso) R:

quindi il potenziale vettore è diretto lungo z, le sue componenti lungo un sistema di riferimento sferico sono:

sfruttando la formula dei campi a grande distanza

si ha:

quindi:

le altre due componenti sono nulle.

Dipolo corto

Il dipolo corto può essere interpretato come un filo alimentando a due morsetti di ingresso su due tronchi di una linea di trasmissione. La distribuzione del campo può essere assunta come quella di una linea di trasmissione lunga l/2. Tale lunghezza in questo caso è molto minore della lunghezza d'onda e possiamo per essa quindi prendere la seguente espressione:

posto che sia z' la cordinata generica lungo un'asse z'. Con (x, y, z) in genere si indica le coordinate di un punto P nello spazio nel quale si vuole trovare il campo.

Ovviamente se vogliamo il campo dobbiamo trovare le formule viste prima, in tal caso come in tutti i casi d'altronde, possiamo integrare ogni contributo elementare sul filo come supponendo costante

su ogni pezzetto dell'antenna ipotizzando che questo irradi la stessa onda irradiata da un dipolo elementare; quindi abbiamo:

ove r è la distanza del singolo pezzettino di antenna dal punto P come si può vedere in figura:

in generale iptizzando r ed R paralleli

in tal caso quindi:

in zona di Fraunhofer tale approssimazione può essere effettuata per la fase, mentre per l'ampiezza possiamo usare quella più grossolana , in tal caso il termine a denominatore può essere portato fuori dall'integrale. In questo caso poiché la lunghezza dell'antenna è molto piccola

possiamo usarla anche per la fase:

applicando le formule viste prima per il campo otteniamo:

è immediato riferirsi alle grandezza prima citate per la formula generale:

nel caso in cui la lunghezza del dipolo divenga confrontabile con la lunghezza d'onda occorre fare un'approssimazione meno grossolana della fase quale quella che abbiamo riportato poco sopra ed integrare rispetto ad essa. L'espressione ovviamente diventa un po' più complicata del caso del dipolo corto.

Dipolo di lunghezza paragonabile alla lunghezza d'onda

In tal caso:

Ipotizziamo che la corrente sia esprimibile come quella su una linea di trasmissione di lunghezza pari alla metà dell'estensione dell'antenna.

Abbiamo:

essendo:

sviluppando e passando all'espressione del campo(i conti sono molto laboriosi) otteniamo:

nel caso di dipolo di lunghezza si ha:

è caratterizzato da un diagramma di radiazione più direttivo del dipolo corto anche se non così efficiente. Tali antenne vengono usate molto spesso nella pratica proprio perchè non particolarmente direttive sono comode ad esempio in diversi casi, quale ad esempio la radiodiffusione. Trattandosi di un sistema di Broadcasting essa deve raggiungere molte utenze e quindi vengono usate tali antenne.

Nel caso di un dipolo a mezz'onda l'espressione della corrente si può trovare in maniera abbastanza agevole; la linea ha lunghezza l'espressione della corrente per una linea di trasmissione in circuito aperto è:

ove Vp e Vr sono i fasori dell'onda progressiva e regressiva sulla linea. Essendo aperta e supponendo che il carico in questo caso infinito sia posizionato in z=0, si ha:

quindi Vp=Vr. Otteniamo:

ponendo z=0 ai morsetti dell'antenna con un'asse z' che va da -l/s a l/2 ed

in cui I0 è la corrente massima posizionata proprio sui morsetti dell'antenna. Dall'equazione si vede che la corrente è semplicemente un solo arco di sinusoide lungo tutta l'antenna. In pratica è un onda stazionaria che pulsa con il tempo con la stessa forma:

per il dipolo a mezz'onda abbiamo il seguente diagramma di radiazione

nel piano equatoriale il diagramma è omnidirezionale, nel piano di il diagramma è un po' più direttivo del dipolo Hertziano con un ampiezza del fascia a metà potenza di 78°, mentre per il dipolo Hertziano questo vale 90°.

3. Polarizzazione

Il campo elettrico può essere polarizzato in diversi modi, ricordiamo al proposito che possiamo avere i seguenti casi: ellittica, circolare, lineare

Ricordiamo che il caso generale è il caso ellittico. Infatti

avendo posto:

il fasore del campo elettrico stesso con ovvia notazione dei simboli; le componenti del campo elettrico danno luogo nella rotazione ad un ellisse. In assenza di componente sinusoidale, cioè solo cosinusoidale avremmo una polarizzazione lineare.

Dal punto di vista fisico il j significa che abbiamo due componenti sfasate di 90°.

In generale il campo è contenuto in un certo piano, comunque sia possiamo ipotizzare di prendere due assi lungo il quale il campo ha due componenti. In coordinate cartesiane possiamo prendere due assi x,y e quindi due versori

esempio

consideriamo il fasore:

si verifica facilmente che in tal caso la polarizzazione è circolare, oltre a questo essa è un'onda piana che si propaga lungo z, questo perchè abbiamo due componenti massime della stessa lugnghezza lungo x e y.

Infatti abbiamo

poniamo z=0

per vedere in che verso è la polarizzazione si può guardare due istanti successivi, ad esempio per semplicità t=0 e t=T/4:

in un sistema di riferimento cartesiano con una terna x,y,z abbiamo un campo che è polarizzato in maniera destrogira (ossia orario).

Si può vedere facilmente che esso descrive una circonferenza. Infatti, prendiamo e(0;t):

quindi:

sfruttando la ben nota proprietà delle funzioni trigonometriche:

abbiamo:

=>

che è proprio l'equazione di un cerchio di raggio E0.

4. Parametri

• Direttività

cioè il rapporto tra la densità di potenza a distanza R e la densità di potenza isotropica di un antenna che irradia la stessa potenza alla stessa distanza R.

Su una sfera di raggio R quindi otterrei

otteniamo

essendo

• Guadagno

ove con ovvia notazione dei simboli una è la potenza irradiata l'altra la potenza trasmessa (erogata) all'antenna.

• Efficienza ohmica

• Altezza efficace, h tale che

tensione a vuoto ai morsetti dell'antenna

ove Ei è il campo incidente.

• Ampiezza del fascio a metà potenza

E' l'angolo di apertura del fascio, i cui due estremi rappresentano i punmti in coordinate sferiche ove il campo decade di 3db.

• Area equivalente, tale che:

ove P è la potenza disponibile ottenuta dal modulo vettore di Poynting moltiplicato con l'area equivalente stessa. E' valida in condizioni di adattamento di massimo trasferimento di potenza e con adattamento di polarizzazione, cioè h ed E paralleli.

Questa formula si può esplicitare meglio considerando

• Circuito equivalente dell'antenna in ricezione

ove:

Va: tensione che si avrebbe a vuoto(ZL infinita) ai morsetti dell'antenna

Za: impedenza dell'antenna

ZL: carico posto a valle dell'antenna(ai suoi morsetti di uscita)

la potenza dissipata sul carico è:

inoltre sapendo che:

supponendo di essere in condizioni di adattamento di impendenza

ove

quindi

ove

è detto fattore di polarizzazione

siccome Ae come detto è definito in condizioni di adattamento di polarizzazioni tale fattore deve essere unitario, quindi:

ovvero antenna e campo incidente devono dar luogo alla medesima polarizzazione, il coniugato intuitivamente ci dice che questa formula è valida per lo stesso sistema di riferimento, ma un osservatore che vede l'onda incidente è posto dalla parte opposta di un osservatore che vede l'onda generata venirgli incontro.

Vediamo ora una tabella riassuntiva di vari tipi di antenne.

Tabella relativa a vari tipi di antenne

Queste antenne filari generano un campo scarsamente direttivo. Per ottenere alta direttività si fa uso in genere di antenne ad apertura. Inoltre l'efficienza ohmica è molto bassa essendo bassa la resistenza di radiazione.

Per trovare la resistenza di radiazione si può effettuare il seguente procedimento: calcolare la potenza irradiata a grande distanza ed uguagliarla alla potenza dissipata sulla resistenza di radiazione.

Esempio

Calcoliamo la resistenza di radiazione del dipolo corto.

sapendo che:

quindi:

tenendo conto che:

sviluppando si ottiene:

da cui si vede che essendo la resistenza di radiazione è molto piccola.

In genere le antenne filari si usano in ricezione per frequenze al di sotto del Ghz, mentre le antenne ad apertura si usano a frequenze elevate f>1Ghz.

Antenna Yagi-Uda

Un caso particolare di antenna interessante, molto usato nella pratica, è quello dell'antenna Yagi-Uda dal nome di due ingegneri giapponesi suoi inventori.

Essa può essere vista come un allineamento di antenne, ma in generale ha un solo dipolo attivo, piu' una serie di elementi parassiti come si può vedere nella seguente figura:

in particolare abbiamo un elemento parassita un po' più lungo immediatamente vicino al dipolo alimentato, il cosiddetto riflettore. E' quest'ultimo in modo particolare insieme al dipolo attivo a determinare il comportamento di quest'antenna rendendolo più direttivo. Più a destra ci sono altri elementi parassiti che generano ulteriore direttività i cosiddetti direttori. Il dipolo attivo genera una certa corrente che si accoppia agli elementi vicini inducendo quindi delle correnti su di essi. Esso può essere costituito da un dipolo a mezz'onda ad esempio; sappiamo che il suo diagramma di radiazione non è particolarmente direttivo, anzi nel piano equatoriale è omnidirezionale, la direttività quindi scaturisce dall'accoppiamento con i dipoli parassiti vicini.

Sapendo che il generico dipolo genera a grande distanza un campo:

si ha per il campo totale:

dove dn è la distanza dei singoli dipoli dal direttore posto a una delle estremità dell'antenna.

Variando opportunamente la lunghezza dei singoli elementi e la loro distanza dal dipolo direttore, si può raggiungere il diagramma di radiazione voluto, in particolare variando la lunghezza del dipolo direttore. Nella pratica esso è leggermente più lungo del dipolo attivo mentre i direttori sono leggermente più corti. Il Dipolo attivo accoppiandosi con il riflettore fa si che in determinate direzioni il campo sia in fase mentre in altre in controfase.

Quest'antenna in genere viene usate come antenna ricevente TV nelle abitazioni.

5. Equazione del collegamento

In spazio libero per due antenne in linea di vista (LOS) a distanza d troviamo la potenza ricevuta Pr.

Siano:

Pt: potenza trasmessa(in realtà andrebbe considerata quella effettivamente irradiata, per ipotesi si assume l'efficienza ohmica unitaria).

Gt: guadagno dell'antenna in trasmissione.

Gr: guadagno dell'antenna in ricezione.

Dal momento che nella pratica si usa antenne direttive conviene usare la seguente quantità:

Effective Isotropic Radiated Power

con essa si esprime la potenza irradiata a grande distanza da un antenna isotropica equivalente a quella in esame(di trasmissione). La densità spaziale di potenza a distanza d sarà:

sappiamo che la potenza disponibile ai morsetti dell'antenna vale:

dalla teoria delle antenne usiamo la seguente formula:

quindi:

=>

detta Formula di Friis

avendo espresso Ls: perdita per attenuazione in spazio libero.

Quest'equazione ci dice che ovviamente la potenza in ricezione aumenta se aumenta la potenza con cui si alimenta l'antenna, e se aumentano i guadagni delle due antenne di ricezione e trasmissione. Ovviamente tali guadagni come sappiamo sono correlati alla direttivita e non sono costanti come li abbiamo riportati nella formula. L'equazione di Friis però fa l'ipotesi di considerare i guadagni massimi. Essa diminuisce anche con l'aumentare della perdita per attenuazione in spazio libero Ls; come si vede essa aumenta tanto piu' aumenta la distanza d tra le due antenne come è logico; Ls dipende anche dalla lunghezza d'onda. La perdita aumenta tanto più tale valore diminuisce, cioè la potenza ricevuta tanto maggiore è la frequenza.

In genere non è detto sempre che antenna trasmittente e ricevente si vedano; questo è vero nei ponti radio in genere dove si sfrutta la propagazione troposferica(per diffrazione) e per comunicazioni satellitari. In quest'ultimo caso la distanza viene ad assumere valori molto grandi e quindi la potenza trasmessa deve essere molto elevata. Sul satellite occorrono ampolificatori di potenza che rigenerino il segnale verso terra (es Klystron, Magnetron ecc..).

In molti casi pratici tale equazione non va più bene, un caso tipico è quello di comunicazioni wireless in area urbana dove si ha una condizione NLOS.

6. Circuiti equivalenti ed adattamento

In trasmissione abbiamo:

un generatore con la impedenza interna alimenta un antenna vista come un'impedenza Za. Tutta la potenza fornita all'antenna deve essere irradiata in condizioni ideali. Quindi:

l'impedenza d'antenna è quindi data fondamentalmente da un contributo resistivo sovrapposizione della resistenza di radiazione e della resistenza di perdita responsabile della perdita per effetto juole soll'antenna, e di un contributo reattivo di difficile quantificazione in generale. Nel caso di un dipolo a mezz'onda la parte reattiva tende ad annullarsi rispetto a quanto vede il generatore.

In ricezione abbiamo:

un generatore Va, tensione a vuoto ai morsetti dell'antenna con in serie la stessa Za che alimenta un certo carico. ZL è in pratica la resistenza equivalente vista ai morsetti di uscita dell'antenna del circuito posto a valle della stessa. In casi reali questa può essere la resitenza di ingresso di un preamplificatore a basso rumore.

Adattamento

Nei circuiti delle telecomunicazioni l'adattamento è in generale di due tipi

• Adattamento di potenza

• Adattamento di uniformità

il primo fa riferimento al massimo trasferimento di potenza tra generatore e carico, e si realizza facendo si che il carico del generatore assuma la seguente espressione:

mentre per quanto riguarda l'adattamento di uniformità questo fa riferimento al fatto che dal generatore al carico(es antenna) deve essere interposto in genere un cavo coassiale o una guida d'onda. In questi mezzi guidati potrebbe esserci un'onda riflessa che ritorna sul generatore dando luogo a dei picchi di tensione e quindi con possibilità che ci sia un danneggiamento del generatore stesso. Il problema può essere superato interponendo due circuiti tra il generatore e l'antenna nel seguente modo:

per l'adattamento di uniformità prendendo in esame le formule delle linee di trasmissione:

coefficiente di riflessione

ove Z(z) e Z0 sono rispettivamente l'impedenza all'ascissa z della linea e quella caratteristica della linea di trasmissione; occorre avere un coefficiente di riflessione nullo. Questo può essere fatto con i normali metodi delle linee di trasmissione ad esempio facendo uso di un trasformatore in posto in un punto a una certa distanza dal carico nel quale l'impedenza risulta puramente reale.

Analoghi discorsi possono essere fatti per un'antenna ricevente, in tal caso il generatore è proprio rappresentato dall'antenna e il carico dal preamplificatore.

7. Allineamenti di antenne

In molti casi pratici come abbiamo visto per l'antenna Yagi -Uda per conferire direttività al sistema radiante, si può usare un'insieme di antenne. Se il singolo elemento radiante è alimentato questo si dice allineamento di antenne.

Consideriamo il generico campo irradiato da un'antenna a grande distanza:

se abbiamo un allineamento di N antenne allora il campo totale a grande distanza dal sistema( dove D è la dimensione massima del sistema):

un caso particolare molto interessante è quello in cui il sistema di antenne costituisce un allineamento uniforme di dipoli come nella seguente figura visti dall'alto:

il punto P supponiamo sia posizionato in zona di Fraunhofer e quindi che i raggi che congiungono le antenne con il punto P ove si vuole trovare il campo siano pressochè paralleli.

Le singole distanze delle antenne dal punto in esame si possono esprimere pere la fare al solito come:

essendo R la distanza del primo dipolo dal punto P, sul quale dipolo abbiamo posizionato il sistema di riferimento.

Abbiamo:

quindi:

quindi:

abbiamo il prodotto di due fattori: il diagramma di radiazione del singolo elemento per un altro fattore denominato fattore di schiera. Questo si è fatto ipotizzando che ogni elemento irradi nella stessa maniera e abbia la stessa polarizzazione. Da questo discende la

regola di Krauss: il diagramma di radiazione è il risultato del prodotto del diagramma di radiazione del singolo elemento per il fattore di schiera di una schiera di radiatori isotropici.

Essa discende in pratica dal fatto che visti separatamente essi hanno proprio questo significato dato loro dalla regola di Krauss stessa.

Ipotizziamo per semplicità che

cioè di prendere le eccitazioni dei singoli dipoli a sfasamento progressivo, supponendo V0 costante.

In questo caso si ha:

da cui:

avendo posto:

che è il fattore di schiera ove

è questo termine come ci dice anche la regola di Krauss a conferire direttività alla schiera di antenne. Infatti esplicitando la sommatoria ponendo m=n-1 si ha:

è una funzione periodica di periodo con un primo zero in come si vede nella seguente figura:

nei dintorni dell'origine esso è quindi tanto più stretto quanto maggiore è il numero degli elementi, ciò significa che il digramma di radiazione diventa tanto più stretto quanto più aumenta il numero degli elementi radianti. Questo però spesso genera dei lobi laterali com e possiamo vedere da alcuni diagrammi riportati per N diverso e a due distanze diverse tre gli elementi:

per l'argomento dei seni tendente a zero abbiamo in particolare una sinc:

il massimo viene raggiunto in quindi

al variare di abbiamo tre casi particolari:

Broadside

in cui quindi occorre porre

gli elementi irradiano massimamente in direzione ortogonale alla loro disposizione

Endfire

in cui quindi occorre porre

è il caso in cui gli elementi irradiano massimamente in direzione parallela alla loro disposizione.

Backfire

in cui quindi occorre porre

è il caso in cui gli elementi irradiano massimamente in direzione parallela alla loro disposizione ma in direzione opposta al caso endfire.

Se invece non assume uno di questi valori in genere viene chiamato angolo di scansione. Questo perchè con queste antenne si può variare elettronicamente tale anmgolo in modo da fargli assumere qualunque valore e può essere usato ad esempio per scandire una determinata regione spaziale. Ovviamente questo si fa variando le fasi con cui si eccita le antenne, in particolar modo variando la fase .

Grating Lobes

Come abbiamo visto è una funzione periodica di periodo essa ha N poli pari al numero degli elementi radianti, al variare di N si può verificare l'insorgenza di lobi laterali dannosi per la direttività dell'antenna; ad esempio il caso radar è lampante: possono esserci lobi laterali che irradiano in direzioni non volute catturando del clutter, un segnale indesiderato che si sovrappone al segnale utile rendendo difficile il riconoscimento di quest'ultimo.

Tenendo conto che:

e considerando quindi un angolo polare ne segue che:

occorre:

cioè che sia al massimo il valore dell'ultimo zero prima di riavere un lobo maggiore in modo da avere dei lobi laterali i più piccoli possibili.

Quindi:

e

otteniamo la seguente espressione generale per la lunghezza tra i dipoli normalizzata alla lunghezza d'onda:

esempio nel caso broadside con N molto grande:

nel caso endfire e backfire o :

in generale l'esperienza ha dimostrato che tale distanza non deve essere troppo grande.

Queste antenne hanno diversi campi di applicazione, come detto una delle sue applicazioni è nel caso radar. Ad esempio per scandire una certa regione di spazio variando la fase delle alimentazioni, in modo da variare progressivamente l'angolo di scansione:

in modo da rivelare o meno la presenza di un aereo, quindi antenna per Radar ATC.

Un altro caso sempre nel caso di applicazione radar è il caso del Radar ad apertura sintetica, SAR, usato per il telerilevamento di immagini fisse da satellite. La posizione dei singoli dipoli può essere quella di una singola antenna montata a bordo del satellite, che emette impulsi ad esempio a banda larga in istanti successivi di tempo per effettuare un mappaggio del terreno ad alta risoluzione dato che il sistema di antenne che così si viene a costruire genera un fascio molto stretto come abbiamo visto dai diagrammi di radiazione soprariportati.

8. Propagazione